Games101-02 Transformation变换

2D变换

线性变换

• 可以用矩阵直接表示

  $$x'=ax+by$$ $$y'=cx+dy$$ $$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a&b \\ c&d \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\y \\ \end{matrix} \right]$$ $$x'=Mx$$

• Scale 缩放

  $$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} s_{x}&0 \\ 0&s_{y} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\y \\ \end{matrix} \right]$$

• Reflection 反射/对称

  $$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} -1&0 \\ 0&1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\y \\ \end{matrix} \right]$$

• Shear 切变

  $$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1&a \\ 0&1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\y \\ \end{matrix} \right]$$

• Rotate 旋转

  

  $$R_{\theta}=\left[ \begin{matrix} \cos{\theta}&-\sin{\theta} \\ \sin{\theta}&\cos{\theta} \\ \end{matrix} \right]$$

齐次坐标系（Homogeneous）

• 线性变换+平移，不能用矩阵直接表示，添加第三个坐标即使用齐次坐标表示

  齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标，在笛卡尔坐标系下加额外变量w形成齐次坐标

  • 2D 点 = $(x,y, 1)^T$

  • 2D向量 =$(x,y, 0)^T$

  • 针对点/向量具有平移不变性，$w'$为0或1时才是有效操作，$\left( \begin{matrix} x \\y \\w \end{matrix} \right)$需要变成$\left( \begin{matrix} x/w \\y/w \\1 \end{matrix} \right)$

$$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\w'\\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&0&t_{x} \\ 0&1&t_{y} \\0&0&1\\ \end{matrix} \right)·\left( \begin{matrix} x \\y \\1\\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x+t_{x} \\ y+t_{y} \\1\\\end{matrix} \right)$$

​ 把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可

• 向量+向量=向量

• 点-点=向量

• 点+向量=点

• 仿射变换 Affine：线性映射+平移 $$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a&b \\ c&d \\ \end{matrix} \right)·\left( \begin{matrix} x \\y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} t_{x} \\t_{y} \\ \end{matrix} \right)$$ 使用齐次坐标系为： $$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\1\\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a&b&t_{x} \\ c&d&t_{y} \\0&0&1\\ \end{matrix} \right)·\left( \begin{matrix} x \\y \\1\\ \end{matrix} \right)$$

• 缩放/ 旋转/ 平移

  Scale

  $$S(s_{x}, s_{y})= \left( \begin{matrix} s_{x}&0&0 \\ 0&s_{y}&0 \\0&0&1\\ \end{matrix} \right)$$

  Rotation

  $$R(\alpha)=\left(\begin{matrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0 \\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0 \\0&0&1\\ \end{matrix} \right)$$

  Translation

  $$T(t_{x}, t_{y})=\left(\begin{matrix} 1&0&t_{x} \\ 0&1&t_{y}\\0&0&1\\ \end{matrix} \right)$$

• 组合变换

  设有仿射变换$A_1A_2A_3$……

  由矩阵乘法组合对性能影响很大，可以将n个变换先合成一个计算

  $$A_{n}(…A_{2}(A_{1}(x)))=A_{n}···A_{2}·A_{1}·\left( \begin{matrix} x \\y \\1\\ \end{matrix} \right)$$

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3D变换

四元数

• 3D 点 = $(x,y, z,1)^T$

• 3D向量 =$(x,y,z, 0)^T$

​ 矩阵的逆为转置：$R_\theta^{-1} = R_\theta^T$

3D变换

• Scale

$$S(s_{x}, s_{y},s_{z})= \left( \begin{matrix} s_{x}&0&0&0 \\ 0&s_{y}&0&0 \\0&0&s_{z}&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right)$$

• Translation

$$T(t_{x}, t_{y},t_{z})=\left(\begin{matrix} 1&0&0&t_{x} \\ 0&1&0&t_{y}\\0&0&1&t_{z}\\ 0&0&0&1\end{matrix} \right)$$

• Rotation
  • 旋转-欧拉角：绕x、y、z轴旋转
  • 旋转-任意方向

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View / Camera视图变换

拍照：①确定好模型位置 ②调整相机位置（视图变换）③3D->2D，通过投影变换

视图变换：通过相机拍摄，相机随物体一起变换，目的是将相机位置调整为标准坐标轴位置

• 定义相机：位置$\vec{e}$，拍摄方向$\vec{g}$，向上方向$\vec{t}$

  ​ 相机模型转化在坐标轴上：$\vec{e}$为原点，$\vec{g}$为-Z，$\vec{t}$为Y

  ​ 由于难以转换，通过计算由标准坐标轴转化为相机视图

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Projection 投影变换

正交投影

正交投影：直接将3D拍扁就是$(x, y)$上面的图，通过平移和缩放使其变为1x1x1的立方体

• 由于摄像机看向-Z方向，物体在-Z轴上，因此z越大越近 (l, r)X(b, t)X(n, f)为在x, y, z轴上的范围

$$M_{ortho}=\left[\begin{matrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0 \\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0 \\0&0&\frac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1&0&0&-\frac{2}{r+l} \\ 0&1&0&-\frac{2}{t+b} \\0&0&1&-\frac{2}{n+f}\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]先平移再缩放，物体被拉伸$$

透视投影

透视投影：近大远小，不平行的平行线，收敛到单点；通过挤压变换投影到另一个面

• z值不变，切面上中心点不变，近平面不变（z=n的平面）

• 则对于任一点（x, y, z）在齐次坐标下表示为：

$$\left[\begin{matrix} x\\y\\z\\1\end{matrix} \right]=>\left[\begin{matrix} \frac{n}{z}x\\\frac{n}{z}y\\unknow\\1\end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix} nx\\ny\\unknow\\z\end{matrix} \right]$$

​ 构造矩阵为：

$$\left(\begin{matrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ ?&?&?&?\\ 0&0&0&n\\ \end{matrix}\right) *\left(\begin{matrix} x\\y\\z\\1\end{matrix} \right)= \left(\begin{matrix} x\\ny\\unknow\\z\end{matrix} \right)$$

• 由于近平面（最近即z=n的情况）上任意点不变z值不变，将z替换为n，中心坐标不变：

$$\left(\begin{matrix} x\\y\\n\\1\end{matrix} \right)= \left(\begin{matrix} x\\ny\\n^2\\n\end{matrix} \right)$$ $$M_{persp→ortho}^{4*4} == \left(\begin{matrix} 0,0,A,B\end{matrix} \right)*\left(\begin{matrix} x\\y\\n\\1\end{matrix} \right)=n^2$$

​ 因此：$An+B=n^2$

• 由于最远平面（最远即z=f，只剩原点（0,0）的情况）中心不变

$$\left(\begin{matrix} 0\\0\\f\\1\end{matrix} \right)= \left(\begin{matrix} 0\\0\\f^2\\f\end{matrix} \right)$$

​ 因此：$Af+B=f^2$

• 最终

$$M_{persp→ortho}^{4*4}=\left(\begin{matrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&0&n\\ \end{matrix}\right)$$

​ 即 $M_{persp} =M_{otrho}M_{persp→ortho}^{4*4}$

视野：垂直可视角度，上下中点与视锥点的夹角决定范围大小

纵横比：宽高比

视锥点：相机位置

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