Games101-01线代基础

向量

向量	向量长度	单位向量（=1，用于表示方向）
$\vec{a}$	$$		\vec{a}		$$	$$\vec{a}/		\vec{a}		$$

• 终点 — 起点

• 具有方向和长度

• 移动后仍是同一个

• 笛卡尔坐标系，x、y可以是任意正交向量

  

  $$A = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$$

$$\newline A^T = (x, y)^T$$ $$\textcolor{Red} {||A|| = \sqrt{x^2, y^2}}$$

向量点积

• 向量点积

  

1. 点积得到一个实数： $\hat a·\hat b = ||\vec{a}||||\vec{b}||\textcolor{Red}{cos{\theta}}$

2. 可以得到两个向量的夹角$\theta$：$cos{\theta} = \frac{\hat a·\hat b}{||\vec{a}||||\vec{b}||cos{\theta}}$

3. 对于单位向量可以直接通过点积得到：$cos{\theta} = \hat a·\hat b$

• 笛卡尔坐标系中的点积（对应相乘）

  • 2D
  $$\vec{a}·\vec{b} = \left( \begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ \end{matrix}\right)·\left( \begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ \end{matrix}\right)=x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$$
  • 3D
  $$\vec{a}·\vec{b} = \left( \begin{matrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a}\\ \end{matrix}\right)·\left( \begin{matrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\\ \end{matrix}\right)=x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$
  • $\textcolor{Red}{在图形学中，用于找到夹角余弦（例如光源到物体表面的夹角），和一个向量到另一个向量的投影。}$

• 投影中的点积：将一个向量分解到两个方向，$\vec{b}_{\bot}$和$\vec{a}$一个方向

  

  $$\vec{b}_{\bot} = k\vec{a}$$ $$k = ||\vec{b}_{\bot}|| = ||\vec{b}||cos{\theta} =||\vec{b}||\vec{a}·\vec{b}$$

• 图形学中的点积：

  • 通过夹角判断两个向量接近还是远离、前后关系；

  • 正负判断方向是否相反；

  • 通过向量点积结果是否大于0判断向量是否向前，等于0则在线上。

向量叉积

• 向量叉积

  Input：a、b

  Output：垂直于a、b的向量c

  a、b、c不在一个平面上，右手定则判断c方向正负

  • 无交换律 $\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$

• 图形学中的叉积：

  判定左右、内外

  

  $$\vec{AB}·\vec{AP}<0$$ $$\vec{BC}·\vec{BP}<0$$ $$\vec{CA}·\vec{CP}<0$$

  均<0，P在AB、BC、CA的左侧，因此在三角形内部

矩阵

矩阵乘法

• 矩阵X矩阵

• 矩阵X向量

  向量可看做是一列矩阵

• 点积

  $$\vec{a}·\vec{b} = \vec{a}^{T}\vec{b}=\left( \begin{matrix} x_{a}&y_{a}&z_{a} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x_{b}\\y_{b}\\z_{b} \end{matrix} \right)=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$

• 叉积

  $$\vec{a}·\vec{b} =A*b=\left( \begin{matrix} 0&-z_{a}&y_{a} \\z_{a}&0&-x_{a}\\-y_{a}&x_{a}&0\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x_{b}\\y_{b}\\z_{b} \end{matrix} \right)$$

单位矩阵与逆

• 通过单位矩阵找到矩阵的逆

  $$AA^{-1} = A^{-1}A=I$$ $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

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